Aquel Teorema Del Almagesto De Claudio Ptolomeo Y Su Util Colorario

El heredero de la concepcion del universo dada por platon, habria de llegar a variados resultados en su tratado de astronomica, pues bien aqui trataremos aquel teorema de geometria plana. El teorema dice asi… .

Teorema

en un cuadrilátero concíclico (como el de la figura de mas abajo)  se verifica siempre que AB·CD + BC·AD = AC·BD

Cuadrilatero Conciclico

Para empezar a demostrar el teorema, realizamos el artificio de dibujar la recta BE de forma que el ángulo α = ABE sea igual a α = CBD.

Seguidamente observemos que los ángulos asignados con θ en los vértices A y D son iguales ya que son ángulos inscritos en la circunferencia que abarcan un mismo arco.

De ahí se infiere que el triángulo BEA es semejante al BCD y por tanto:

AE/AB = CD/BD

…Despejando…

AB·CD = AE·BD

Seguimos buscando y  vemos que también son semejantes los triángulos BEC y BAD, de donde:

CE/BC = AD/BD

…Despejando…

BC·AD = CE·BD

Sumando miembro a miembro tenemos que AB·CD + BC·AD = AE·BD + CE·BD = (AE+CE)·BD = AC·BD

(Q.e.d.)

Colorario

Cuadrilatero Diamtreal

uno de los lados del cuadrilátero es el diámetro de la circunferencia.

Consecuencia:

Por el  teorema anterior obtenemos que:


2r·BC = AC·BD – AB·CD


… y dividiendo todo por 4r2, obtenemos:

Llamando 2α al arco BD y 2β al arco CD, tenemos que sen α = BD/AD, senβ = CD/AD y sen (α β) = BK/AK. Como el triángulo AKD es semejante al BKC, entonces BK/AK = BC/AD = BC/2r. Y entonces, sustituyendo en la fórmula anterior:

sen (α β) = sen (90-β)·sen α – sen (90-α)·sen β

o equivalentemente

sen (α β) = sen α · cos β – cos α · sen β

Y esta es  la conocida fórmula del seno de la diferencia.

El Almagesto se basa en parte en las Cuerdas en un círculo de Hiparco, aunque no sabemos en que medida. Lo que si sabemos es que las tablas trigonométricas de que se disponía en aquella época están construidas basándose en los métodos que hemos visto arriba, que dicen mucho del nivel al que llegó la matemática en la Grecia Clásica.

Y como pueden observar es un caso particular del teorema de Ptolomeo que  es especialmente interesante.

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Published in: on diciembre 16, 2009 at 9:18 pm  Comments (3)  

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3 comentariosDeja un comentario

  1. Enhorabuena, que interesante.

  2. Ya decia yo que los antiguos… .xD.

  3. Venga!, esa identidad la uso bastante en la prepa.


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